Question

如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=-

4

27

x2+

22

3

交于點A（3，6）．
（1）求k的值；
（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數分別是1個、2個？

Answer 1

分析：（1）將點A的坐標代入到正比例函數的解析式后利用待定系數法求出直線y=kx的解析式；
（2）如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H，構造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉化為相似三角形的相似比，即

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點的位置不同時，這個結論依然成立；
（3）延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R．由已知條件角的相等關系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．借助得到的二次函數圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時，x的取值（即OE的長度，或E點的位置）有1個或2個．這樣就將所求解的問題轉化為分析二次函數的圖象與性質問題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度．如答圖2，可以通過構造相似三角形，或者利用一次函數（直線）的性質求得AB的長度．

解答：解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2．…（3分）；
（2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值，…（4分）；
理由如下：
如圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H．
①當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，
此時

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2．…（6分）；
②當QH與QM不重合時，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN．
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN．∴

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2．
當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得

QM

QN

=2．…（8分）；
∴線段QM與線段QN的長度之比是一個定值．
（3）如圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R．
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF．
∴OC=AC=

1

2

OA=

5

2

5

．
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC．∴

OF

OC

=

AO

OR

=

3 5

3

=

5

．∴OF=

5

2

5

×

5

=

15

2

．
∴點F（

15

2

，0）．…（9分）；
設點B（x，-

4

27

x2+

22

3

x），過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF．
∴

BK

FR

=

AK

AR

，即

x-3

7.5-3

=

6-(- 4 27 x2+ 22 3 x)

6

．
解得x₁=6，x₂=3（舍去）．∴點B（6，2）．…（10分）；
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4．∴AB=5．
在△ABE與△OED中，∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB．
∴∠ABE=∠DEO．
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．
設OE=x，則AE=3

5

-x （0＜x＜3

5

），
由△ABE∽△OED得

AE

AB

=

OD

OE

，即

3 5 -x

5

=

m

x

．
∴m=

1

5

x(3

5

-x)=-

1

5

x2+

3 5

5

x=-

1

5

(x-

3

2

5

)2+

9

4

(0＜x＜3

5

)．
∴頂點為(x-

3

2

5

，\user1 

9

4

)
．如圖3，當m=

9

4

時，OE=x=

3

2

5

，此時E點有1個；
當0＜m＜

9

4

時，任取一個m的值都對應著兩個x值，此時E點有2個．…（14分）；
∴當m=

9

4

時，E點只有1個，當0＜m＜

9

4

時，E點有2個．

點評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關知識，另外也考查了一次函數、勾股定理等重要知識點．解題的難點在于轉化思想的運用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉化，要求同學們能夠將所求解的問題轉化為常見的數學問題，利用自己所熟悉的數學知識去解決問題，否則解題時將不知道從何下手而導致失分．