Question

根據題意，解答問題：

（1）如圖1，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求線段AB的長．
（2）如圖2，類比（1）的解題過程，請你通過構造直角三角形的方法，求出點M（3，4）與點N（-2，-1）之間的距離．
（3）在（2）的基礎上，若有一點D在x軸上運動，當滿足DM=DN時，請求出此時點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）由一次函數解析式求得點A、B的坐標，則易求直角△AOB的兩直角邊OB、OA的長度，所以在該直角三角形中利用勾股定理即可求線段AB的長度；
（2）如圖2，過M點作x軸的垂線MF，過N作y軸的垂線NE，MF和NE交于點C，構造直角△MNC，則在該直角三角形中利用勾股定理來求求點M與點N間的距離；
（3）如圖3，設點D坐標為（m，0），連結ND，MD，過N作NG垂直x軸于G，過M作MH垂直x軸于H．在直角△DGN和直角△MDH中，利用勾股定理得到關于m的方程1²+（m+2）=4²+（3-m）²
通過解方程即可求得m的值，則易求點D的坐標．

解答：解：（1）令x=0，得y=4，即A（0，4）．
令y=0，得x=-2，即B（-2，0）．
在Rt△AOB中，根據勾股定理有：
AB=

BO2+AO2

=

(-2)2+42

=2

5

；

（2）如圖2，過M點作x軸的垂線MF，過N作y軸的垂線NE，MF和NE交于點C．
根據題意：MC=4-（-1）=5，NC=3-（-2）=5．
則在Rt△MCN中，根據勾股定理有：
MN=

MC2+NC2

=

52+52

=5

2

；

（3）如圖3，設點D坐標為（m，0），連結ND，MD，過N作NG垂直x軸于G，過M作MH垂直x軸于H．
則GD=|m-（-2）|，GN=1，DN²=GN²+GD²=1²+（m+2）²
MH=4，DH=|3-m|，DM²=MH²+DH²=4²+（3-m）²
∵DM=DN，
∴DM²=DN²
即1²+（m+2）=4²+（3-m）²
整理得：10m=20  得m=2 
∴點D的坐標為（2，0）．

點評：本題考查了勾股定理、一次函數圖象上點的坐標特征．注意：突破此題的難點的方法是輔助線的作法．