Question

【題目】如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E′關于x軸對稱，連接BP、E′M．

（1）請直接寫出點A的坐標為_____，點B的坐標為_____；

（2）當BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點P的坐標為_____；

（3）如圖2，點N為線段BC上的動點且CM=CN，連接MN，是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的EP的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；（3）EP的值為3或6﹣或5．

【解析】

（1）由30°直角三角形的性質求出OD的長，再由平行四邊形的性質求出BD的長即可解決問題；

（2）首先證明四邊形OPME′是平行四邊形，可得OP=EM，因為PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最小；

（3）分三種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．

（1）如圖1中，

在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），

∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；

（2）如圖1中，連接OP．

∵EF垂直平分線段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四邊形OMPE是矩形，∴PM=OE=．

∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四邊形OPME′是平行四邊形，∴OP=EM，

∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最小，∴當O、P、B共線時，BP+PM+ME′的長度最小．

∵直線OB的解析式為y=x，∴P（2，）．

故答案為：（2，）．

（3）如圖2中，當PM=PN=時，

∵AOCB是平行四邊形，∴∠MCN=∠A=60°．∵MC=CN，∴△MNC是等邊三角形，∴∠CMN=∠CNM=60°．

∵PM⊥OC，∴∠PMN=∠PNM=30°，∴∠PNF=30°+60°=90°，

∵∠PFN=∠BCO=60°，∴∠NPF=30°，NF=1，∴PF=2NF=2，

∵EF==5，∴PE=5﹣2=3．

如圖3中，當PM=MN時，

∵PM=MN=CM=，∴EP=OM=6﹣．

如圖4中，當點P與F重合時，NP=NM，此時PE=EF=5．

綜上所述：滿足條件的EP的值為3或6﹣或5．