Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x經過原點O，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點.

(1)求拋物線的頂點A的坐標及點B，C的坐標；

(2)求證：∠ABC=90°；

(3)在直線BC上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1) A(1，1) ，B(2，0)，C(﹣1，﹣3) (2)見解析 （3）(，)

【解析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可求得A點坐標，聯立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標；

（2）由A、B、C的坐標可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；

（3）過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，設出P點坐標，則可表示出G點坐標，從而可表示出PG的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值時P點坐標.

（1）∵y=-x2+2x=-（x-1）2+1，

∴拋物線頂點坐標A（1，1），

聯立拋物線與直線解析式可得，解得或，

∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）證明：

由（1）可知B（2，0），C（-1，-3），A（1，1），

∴AB2=（1-2）2+12=2，BC2=（-1-2）2+（-3）2=18，AC2=（-1-1）2+（-3-1）2=20，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°；

（3）如圖，過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，

設P（t，-t2+2t），則G（t，t-2），

∵點P在直線BC上方，

∴PG=-t2+2t-（t-2）=-t2+t+2=-（t-）2+，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2-（-1）]=PG=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴當t=時，S△PBC有最大值，此時P點坐標為（，），

即存在滿足條件的點P，其坐標為（，）