Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2－EA2＝AC2，

(1)求證：∠A＝90°.

(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）連接CE，由線段垂直平分線的性質可得BE=CE，再結合條件可求得EA2+AC2=CE2，可證得結論；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，即求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理結合已知條件可得到關于AE的方程，可求得AE．

(1)證明　

連接CE，如圖，

∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴CE＝BE

∵BE2－EA2＝AC2，

∴CE2－EA2＝AC2，

∴EA2＋AC2＝CE2，

∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；

(2)解　∵DE＝3，BD＝4，

∴BE＝＝5＝CE，

∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2，

∵BC＝2BD＝8，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理可得：BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2，

∴64－(5＋AE)2＝25－EA2，解得AE＝.

故答案為：(1)證明見解析；(2).