Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，連接AE，將△ABE繞點E順時針旋轉得到△A1B1E，點B1在正方形ABCD內，連接AA1、BB1；

（1）求證：△AA1E∽△BB1E；

（2）延長BB1分別交線段AA1，DC于點F、G，求證：AF＝A1F；

（3）在（2）的條件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中點，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，根據運用∽三角形的判定定理即可證明；

（2）連接BF，延長EB1交AA1于M．先證△MFB1∽△MEA1，再證△MEF∽△MA1B1，可得∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝FA1；

（3）先求出AE，再由cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，根據AF＝AEcos∠EAF，計算即可；

（1）證明：如圖

∵EB＝EB1，EA＝EA1，

∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，

∵∠BEB1＝∠AEA1，

∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，

∴△AA1E∽△BB1E．

（2）證明：連接BF，延長EB1交AA1于M．

∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1，

∴△MFB1∽△MEA1，

∴＝，

∴＝，

∵∠EMF＝∠A1MB1，

∴△MEF∽△MA1B1，

∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°，

∴EF⊥AA1，

∵EA＝EA1，

∴AF＝FA1．

（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1，

∴AE＝＝，

∵DG＝GC，

∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，

在Rt△AEF中，AF＝AEcos∠EAF＝＝．