Question

【題目】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，且AD＝12，BC＝18．動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度向點D運動，設運動時間為t秒（0＜t≤6）

（1）當t＝6時，cos∠BPC＝　 　；

（2）當△BPC的外接圓與AD相切時，求t的值；

（3）在點P運動過程中，cos∠BPC是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝；（3）存在，

【解析】

（1）過點A作AM⊥BC于M，證四邊形AMCD為矩形，在Rt△ABM中求出AM的長度，推出CD的長度，在Rt△BDC中求出cos∠BDC的值即可；

（2）作BC的中垂線PH交BC于點H，交AD于點P'，連接BP'，CP'，作△BP'C的外接圓⊙O，則當點P運動到P'時，∴O與AD相切，求出此時t的值即可；

（3）連接PB，PC，設PB交⊙O于點N，連接NC，OB，先證明當動點P處于P’處時，∠BPC最大，則cos∠BPC的值最小，再證明∠BOH＝∠BP'C，求出此時cos∠BP'C的值即可．

解：（1）如圖1，過點A作AM⊥BC于M，

∵CD⊥BC，

∴∠DCB＝∠AMC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠D＝180°﹣90°＝90°，

∴四邊形AMCD為矩形，

∴AD＝MC＝12，

∴BM＝BC﹣MC＝6，

在Rt△ABM中，BM＝6，∠ABC＝60°，

∴AM＝BM＝6，

∴CD＝AM＝6，

當t＝6時，AP＝2t＝12，

∴點P與點D重合，

如圖1，在Rt△BP'C中，P'C＝6，BC＝18，

∴BP'＝＝12，

∴cos∠BP'C＝＝；

故答案為：；

（2）如圖2，作BC的中垂線PH交BC于點H，交AD于點P'，連接BP'，CP'，作△BP'C的外接圓⊙O，

則P'B＝P'C，圓心O在直線P'H上，

又∵AD∥BC，

∴P'H⊥AD，

∴當點P運動到P'時，∴O與AD相切，

∴∠DP'H＝∠P'HC＝∠HCD＝90°，

∴四邊形P'HCD為矩形，

∴P'D＝HC＝BC＝9，

則AP'＝AD﹣P'D＝12﹣9＝3，

∴t＝，

∴當△BPC的外接圓與AD相切時，t＝；

（3）存在，

如圖3，由（2）知，

當t＝秒時，△BPC的外接圓OO與AD相切于點P’

∵P'H＝DC＝6>BC＝9，

∴P'H>BH，

∴∠BP'C<90°，圓心O在弦BC的上方，P是AD上一動點，

連接PB，PC，設PB交⊙O于點N，連接NC，

則∠BP'C＝∠BNC≥∠BPC，

∴當動點P處于P’處時，∠BPC最大，則cos∠BPC的值最小，

此時，連接OB，則∠BOH＝2∠BP'H＝∠BP'C，

由題意，知OB＝OP'＝P'H﹣OH＝6﹣OH，

在Rt△BOH中，OH2+BH2＝OB2，

∴OH2+92＝（6﹣OH）2，

解得，OH＝，

∴OB＝6﹣OH＝，

在Rt△BOH中，

cos∠BOH＝＝，

∵∠BOH＝∠BP'C，

∴cos∠BPC的值最小為．