Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y＝（k為常數，k≠0）的圖象交于二、四象限內的A、B兩點，與y軸交于C點．點A的坐標為（m，3），點B與點A關于y＝x成軸對稱，tan∠AOC＝．

（1）求k的值；

（2）直接寫出點B的坐標，并求直線AB的解析式；

（3）P是y軸上一點，且S△PBC＝2S△AOB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣3；（2）B（3，﹣1），直線AB的解析式為y＝﹣x+2；（3）P點的坐標為（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）作AD⊥y軸于D，根據正切函數，可得AD的長，得到A的坐標，根據待定系數法，可得k的值；

（2）根據題意即可求得B點的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線AB的解析式；

（3）先根據S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面積為4，然后設P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出關于t的方程，解得即可．

解：（1）作AD⊥y軸于D，

∵點A的坐標為（m，3），

∴OD＝3，

∵tan∠AOC＝．

∴，即，

∴AD＝1，

∴A（﹣1，3），

∵在反比例函數y＝（k為常數，k≠0）的圖象上，

∴k＝﹣1×3＝﹣3；

（2）∵點B與點A關于y＝x成軸對稱，

∴B（3，﹣1），

∵A、B在一次函數y＝ax+b的圖象上，

∴，解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2；

（3）連接OC，

由直線AB為y＝﹣x+2可知，C（0，2），

∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，

∵P是y軸上一點，

∴設P（0，t），

∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，

∵S△PBC＝2S△AOB，

∴|t﹣2|＝2×4，

∴t＝或t＝﹣，

∴P點的坐標為（0，）或（0，﹣）．