Question

設關于x的一次函數y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂，則稱函數y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）為此兩個函數的生成函數．
（1）當x=1時，求函數y=x+1與y=2x的生成函數的值；
（2）若函數y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象的交點為P，判斷點P是否在此兩個函數的生成函數的圖象上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題目提供信息，直接將函數解析式代入即可求得函數y=x+1與y=2x的生成函數的值；
（2）只要證出點P的坐標符和生成函數的解析式即可．
解答：解：（1）當x=1時，
y=m（x+1）+n（2x）
=m（1+1）+n（2×1）
=2m+2n
=2（m+n），
∵m+n=1，
∴y=2；

（2）點P在此兩個函數的生成函數的圖象上，
設點P的坐標為（a，b），
∵a₁×a+b₁=b，a₂×a+b₂=b，
∴當x=a時，y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂），
=m（a₁×a+b₁）+n（a₂×a+b₂）
=mb+nb=b（m+n）=b，
即點P在此兩個函數的生成圖象上．
點評：此題是一道新定義信息題，難度不大，考查了同學們的閱讀理解和對新知識的接受能力，只要仔細閱讀，就可根據相關函數知識作出解答．