Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，點F在BD上，且 BE＝DF 連接AE并延長，交BC于點G，連接CF并延長，交AD于點H．

(1)求證：△AOE≌△COF；

(2)若AC平分∠HAG，求證：四邊形AGCH是菱形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 見解析.

【解析】

（1）先由四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA=OC，OB=OD，則OE=OF，又∵∠AOE=∠COF，利用SAS即可證明△AOE≌△COF；
（2）先證明四邊形AGCH是平行四邊形，再證明CG=AG，即可證明四邊形AGCH是菱形．

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵BE＝DF，∴OE＝OF.

在△AOE與△COF中，

∴△AOE≌△COF(SAS)．

(2)由(1)得△AOE≌△COF，

∴∠OAE＝∠OCF，∴AE∥CF.

又∵AH∥CG，∴四邊形AGCH是平行四邊形．

∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC．

∵AH∥CG，∴∠HAC＝∠GCA，

∴∠GAC＝∠GCA，∴CG＝AG，

∴□AGCH是菱形．