Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，在平面直角坐標系中，A點的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），連接AB，點C是AB的中點，點Q是線段AO上的動點，連接OC、CQ，以BQ為邊構造等邊△BPQ，連接OP、PQ．填空：

①OP與CQ的大小關系是　 　．

②OP的最小值為　 　．

（2）解決問題：在（1）的條件下，點Q運動的過程中當△ACQ為直角三角形時，求OP的長？

（3）拓展探究：如圖2，當點B為直線x＝﹣1上一動點，點A（2，0），連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABP，連接OP，請直接寫出OP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①OP＝CQ；②1；（2）OP的長為1或；（3）OP的最小值為+1

【解析】

（1）①證明△OBC是等邊三角形，得出OB＝BC，證明△PBO≌△QBC（SAS），可得出結論；

②當CQ⊥OA時，CQ值最小，得出最小值為OB＝1；

（2）分兩種情況：①以Q點為直角頂點時，CQ⊥AO于點Q，②以C點為直角頂點時，CQ⊥AC，由直角三角形的性質可得出答案；

（3）以OA為對稱軸，在x＝﹣1上取D，E兩點，作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點F．證明△AEP≌△ADB（SAS），得出∠AEP＝∠ADB＝120°，可求出HF，OF，當OP⊥EF時，OP最小，則OP＝OF＝．

解：（1）問題發現

①∵A點的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），

∴OA＝2，OB＝2，

，

∴∠OBA＝60°，

∵C是AB的中點，

∴OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB＝BC，

∵△BPQ是等邊三角形，

∴PB＝BQ，∠PBQ＝60°，

∴∠PBO＝∠QBC，

∴△PBO≌△QBC（SAS），

∴OP＝CQ，

②∵C是AB的中點，

∴CQ⊥OA時，CQ值最小，最小值為OB＝1，

∴OP的最小值為1．

故答案為：OP＝CQ；1；

（2）解決問題

當三角形ACQ為直角三角形時，

①以Q點為直角頂點時，CQ⊥AO于點Q，

∵C為AB的中點，

∴AC＝，

∴CQ＝AC＝1，

即OP＝1，

②以C點為直角頂點時，CQ⊥AC，

∵AC＝2，

∴CQ＝ACtan30°＝2span>×＝．

即OP＝．

綜上所述：當三角形ACQ為直角三角形時，OP的長為1或；

（3）拓展探究

如圖，以OA為對稱軸，在x＝﹣1上取D，E兩點，作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點F．

在△AEP與△ADB中，

∵AB＝AP，∠BAD＝∠PAE，AD＝AE，

∴△AEP≌△ADB（SAS），

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，

∴∠HEF＝60°，且EH⊥AF，

∴HF＝HA＝+1，

∴FO＝FH+OH＝+2．

∴點P在直線EF上運動，

當OP⊥EF時，OP最小，

∴OP＝OF＝，

則OP的最小值為+1．