Question

（2013•蘭州一模）如圖，AB是⊙O的弦，點D是半徑OA上的動點（與點A，O不重合），過點D垂直于OA的直線交⊙O于點E，F，交AB于點C．
（1）點H在直線EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切線嗎？
（2）連接AE，AF，如果

AF

=

FB

，求證：AF²=CF•FE
（3）在（2）的條件下，已知CF=8，FE=25，若點D是半徑OA的中點，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）HB為圓O的切線，理由為：連接OB，由HC=HB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由對頂角相等，等量代換得到∠HBC=∠ACD，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由CD垂直于OA，得到一對角互余，等量代換得到OB垂直于BH，即可得證；
（2）連接AE，AF，由等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角，得到三角形ACF與三角形AEF相似，由相似得比例，變形即可得證；
（3）由（2）結論，將FC與EF代入求出AF，由OA垂直于EF，利用垂徑定理得到D為EF中點，求出FD的長，由AD為半徑一半，在直角三角形AFD中，利用勾股定理求出半徑r，即可求出圓的面積．

解答：（1）HB為圓O的切線，理由為：
證明：連接OB，
∵HC=HB，
∴∠HBC=∠HCB，
∵∠HCB=∠ACD，
∴∠HBC=∠ACD，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CD⊥OA，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠HBC+∠OBA=90°，即∠OBH=90°，
∴HB為圓O的切線；

（2）證明：∵

AF

=

FB

，
∴∠FAB=∠E，
∵∠AFC=∠EFA，
∴△ACF∽△EAF，
∴

AF

EF

=

FC

AF

，即AF²=FC•EF；

（3）解：由（2）的結論得：AF²=FC•EF=8×25=200，
解得：AF=10

2

，
∵OA⊥EF，∴D為EF的中點，
∴FD=ED=

1

2

EF=

25

2

，
∵D為半徑r的中點，
∴AD=

1

2

r，
在Rt△AFD中，根據勾股定理得：AF²=AD²+FD²，
即200=

1

4

r²+

625

4

，
解得：r=5

7

，
則圓O的面積為175π．

點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．