Question

12、（1）對關于x的一次函數y=kx+h（k≠0），若x=-1、1時都有y＞0，證明：當-1＜x＜1時都有y＞0．
（2）試用上面結論證明下面的命題：若a、b、c為實數且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數的圖象是直線可知一次函數y=kx+h在-1＜x＜1上的圖象為線段（除去兩端點），
再根據兩端點的縱坐標均為正數即可得證；
（2）先把ab+bc+ca+1化為（b+c）a+bc+1的形式，再把a=-1和1時代入此代數式，根據|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，可判斷出ab+bc+ca+1＞0，從而得證．

解答：證明：（1）由于一次函數y=kx+h在-1＜x＜1上的圖象為線段（除去兩端點），
而在端點x=-1、1時都有y＞0，即兩個端點都在x軸上方，（2分）
故整條線段都在x軸上方，即當-1＜x＜1時都有y＞0．（2分）

（2）ab+bc+ca+1=（b+c）a+bc+1，（12分）
當a=-1和1時，其值分別為-b-c+bc+1和b+c+bc+1，
而-b-c+bc+1=（b-1）（c-1），b+c+bc=（b+1）（c+1），
由于|b|＜1，|c|＜1，故（b-1）（c-1）、（b+1）（c+1）都大于0，（4分）
由（1）結論可得對|a|＜1都有ab+bc+ca＞-1．（1分）

點評：本題考查的是一次函數的性質，解答此題時要熟知一次函數的圖象是直線的知識．