Question

（2001•貴陽）已知二次函數的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），且與直線y=kx-4交y軸于點C．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）如果直線y=kx-4經過二次函數的頂點D，且與x軸交于點E，△AEC的面積與△BCD的面積是否相等？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y=kx-4中令x=0，解得y=-4，因而直線與y軸的交點坐標是（0，-4），根據待定系數法就可以求二次函數的解析式．
（2）根據公式可以求出拋物線的頂點坐標，把頂點坐標代入函數y=kx-4就可以求出k的值．
解答：解：（1）在直線y=kx-4中令x=0，
解得y=-4，
因而直線與y軸的交點坐標是（0，-4），
設二次函數的解析式是y=ax²+bx+c．
根據題意得到：
解得：．
則函數解析式是y=x²-x-4．
（2）拋物線的頂點D的坐標是（1，-），把（1，-）代入y=kx-4得到，
解得k=-．
則函數的解析式是y=-x-4，在解析式中令y=0，
解得x=-3，則E點的坐標是（-3，0）．
則AE=2，△ACE的面積是×2×4=4；
過點D作DG⊥y軸與點G，則梯形OGDB的面積是×（1+3）×=；
△CGD的面積是×1×=；
△OBC的面積是×3×4=6．
則△BCD的面積=梯形OGDB的面積-△CGD的面積-△OBC的面積=4，
因而，△AEC的面積與△BCD的面積相等．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，是函數與三角形，梯形相結合的題目．