Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于點D，CD=BD.BE平分∠ABC，點H是BC邊的中點.連接DH，交BE于點G.連接CG.

（1）求證：△ADC≌△FDB；

（2）求證：

（3）判斷△ECG的形狀，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△ECG為等腰直角三角形，理由見解析.

【解析】

（1）首先根據AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，進一步得到∠ACD=∠DBF，結合CD=BD，即可證明出△ADC≌△FDB；

（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，結合CE=AE，即可證明出結論；

（3）由點H是BC邊的中點，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，結合BE⊥AC，即可判斷出△ECG的形狀.

（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC

∴BE⊥AC

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠ABE（同角的余角相等）

又∵CD=BD

∴△ADC≌△FDB

（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC

∴AE=CE

則CE=AC

由（1）知：△ADC≌△FDB

∴AC=BF

∴CE=BF

（3）△ECG為等腰直角三角形，理由如下：

由點H是BC的中點，得GH垂直平分BC，從而有CG=BG，

則∠EGC=2∠CBG=∠ABC=45°，

又∵BE⊥AC，

故△ECG為等腰直角三角形.