Question

【題目】已知四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，對角線AC和BD交于點E．

（1）若∠BAD和∠BCD的度數之比為1：2，求∠BCD的度數；

（2）若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為劣弧BD的中點，求弦AC的長；

（3）若⊙O的半徑為1，AC+BD＝3，且AC⊥BD．求線段OE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）；（3）≤OE≤

【解析】

(1)利用圓內接四邊形對角互補構建方程解決問題即可．

(2)將△ACD繞點C逆時針旋轉120°得△CBE，根據旋轉的性質得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三點共線，解直角三角形求出即可；

(3)由題知 AC⊥BD，過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，判斷出四邊形OMEN是矩形，進而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），設AC＝m，構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

解：(1)如圖1中，

∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠A+∠C＝180°，

∵∠A：∠C＝1：2，

∴設∠A＝x，∠C＝2x，則x+2x＝180°，

解得，x＝60°，

∴∠C＝2x＝120°．

(2)如圖2中，

∵A、B、C、D四點共圓，∠BAD＝60°，

∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，

∵點C為弧BD的中點，

∴BC＝CD，∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，

將△ACD繞點C逆時針旋轉120°得△CBE，如圖2所示：

則∠E＝∠CAD＝∠CAB＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，

∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝360°﹣（∠CAB+∠ACB+∠ABC）＝360°﹣180°＝180°，

∴A、B、E三點共線，

過C作CM⊥AE于M，

∵AC＝CE，

∴AM＝EM＝AE＝（AB+AD）＝×（3+5）＝4，

在Rt△AMC中，AC＝．

(3) 過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，

∵OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，AC⊥BD，

∴四邊形OMEN是矩形，

∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，

∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）

設AC＝m，則BD＝3﹣m，

∵⊙O的半徑為1，AC+BD＝3，

∴1≤m≤2，

OE2＝2﹣ [（AC+BD）2﹣2AC×BD]＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，

∴≤OE2≤，

∴≤OE≤．