Question

14．如圖，Rt△ABC 中，AB=6，AC=8．動點 E，F 同時分別從點 A，B 出發，分別沿著射線 AC 和射線 BC的方向均以每秒 1 個單位的速度運動，連接 EF，以 EF 為直徑作⊙O 交射線 BC 于點 M，連接 EM，設運動的時間為t（t＞0）．

（1）BC=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$．（直接寫出答案）
（2）當點E在線段AC上時，用關于t的代數式表示 CE，CM．
（3）在整個運動過程中，當t為何值時，以點 E、F、M 為頂點的三角形與以點 A、B、C 為頂點的三角形相似．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計算出BC，然后根據余弦的定義求cos∠ABC的值；
（2）當點 E 在線段 AC 上時，0＜t≤8．根據題意，可知 AE=t，則 CE=AC-AE=8-t，利用圓周角定理得∠EMF=90°．則可證得△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出CM；
（3）討論：當E點在線段 AC 上，（0＜t≤8），先由△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出EM=$\frac{24-3t}{5}$，則FM=$\frac{18-t}{5}$，①若∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，利用相似比可求出t=0（舍去）；②若∠EFM=∠ACB時，△MEF∽△ABC，利用相似比可求得t=$\frac{14}{3}$（s）；當E點在線段AC的延長線上，t＞8，若點F運動到C點時，易得t=10（s）；若點F移動到BC的延長線上，且CM＞CF，如圖3，CE=t-8，CF=t-10，由△ABC∽△MEC，利用相似比可表示出CM=$\frac{4t-32}{5}$，EM=$\frac{3t-24}{5}$，當CF＜CM，則FM=CM-CF=$\frac{18-t}{5}$，則當∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，于是利用相似比可求出t=$\frac{144}{13}$（s）；當CF＞CM，則FM=CF-CM=$\frac{t-18}{5}$，則當∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，利用相似比求得t=0（舍去），綜上所述，當t=$\frac{14}{3}$s，10s或$\frac{144}{13}$s時，以點 E、F、M 為頂點的三角形與以點 A、B、C 為頂點的三角形相似．

解答 解：（1）∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
故答案為10，$\frac{3}{5}$；
（2）當點 E 在線段 AC 上時，0＜t≤8．根據題意，可知 AE=t，則 CE=AC-AE=8-t，
∵EF 為直徑，
∴∠EMF=90°．
∵∠ECM=∠BCA，
∴△CEM∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$，即$\frac{CM}{8}$=$\frac{8-t}{10}$，
∴CM=$\frac{32-4t}{5}$；
（3）∵△CEM∽△CBA，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$，即$\frac{EM}{6}$=$\frac{8-t}{10}$，解得EM=$\frac{24-3t}{5}$，
FM=BC-BF-CM=10-t-$\frac{32-4t}{5}$=$\frac{18-t}{5}$，
當E點在線段 AC 上，（0＜t≤8），
①若∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，即$\frac{\frac{24-3t}{5}}{8}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{6}$，解得t=0（舍去）；
②若∠EFM=∠ACB時，△MEF∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{FM}{AC}$，即$\frac{\frac{24-3t}{5}}{6}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{8}$，解得t=$\frac{14}{3}$（s）；
當E點在線段AC的延長線上，t＞8，
若點F運動到C點時，
∵∠EFM=∠ACB，∠CME=∠A，
∴△MEF∽△ABC，此時t=10（s）；
若點F移動到BC的延長線上，且CM＞CF，如圖3，CE=t-8，CF=t-10，
∵△ABC∽△MEC，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{CM}{8}$=$\frac{EM}{6}$=$\frac{t-8}{10}$，
∴CM=$\frac{4t-32}{5}$，EM=$\frac{3t-24}{5}$，
當CF＜CM，則FM=CM-CF=$\frac{4t-32}{5}$-（t-10）=$\frac{18-t}{5}$，
若∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，則$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，
即$\frac{\frac{3t-24}{5}}{8}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{6}$，解得t=$\frac{144}{13}$（s）；
當CF＞CM，則FM=CF-CM=t-10-$\frac{4t-32}{5}$=$\frac{t-18}{5}$，
若∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，則$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，
即$\frac{\frac{3t-24}{5}}{8}$=$\frac{\frac{t-18}{5}}{6}$，解得t=0（舍去），
綜上所述，當t=$\frac{14}{3}$s，10s或$\frac{144}{13}$s時，以點 E、F、M 為頂點的三角形與以點 A、B、C 為頂點的三角形相似．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質；會運用相似比表示兩線段之間的關系和計算線段的長；會運用分類討論的思想數學解決問題．