Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A（s，t）（s≠0）．
（1）當(dāng)s=2時(shí)，t=1時(shí)，求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若（1）中的拋物線與x軸交于點(diǎn)B，過(guò)B作OA的平行線交拋物線于點(diǎn)D，求△BDO三條高的和；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線y=x2﹣x上，且﹣1≤s＜2時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知A（2，1），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1，

由于拋物線過(guò)原點(diǎn)，

∴將（0，0）代入y=a（x﹣2）2+1，

∴解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ （x﹣2）2+1

（2）解：令y=0代入y=﹣ （x﹣2）2+1，

∴解得x=4或x=0，

∴B（4，0）

設(shè)直線OA的解析式為：y=kx，

將A（2，1）代入y=kx，

∴k= ，

∵BD∥OA，

∴設(shè)直線BD的解析式為：y= x+m，

將B（4，0）代入y= x+m，

∴m=﹣2

∴直線BD的解析式為：y= x﹣2

聯(lián)立

解得：x=4或x=﹣2

∴D（﹣2，﹣3）

∴由勾股定理可知：OD= ，BD=3 ，

設(shè)OB、OD、BD邊上的高分別為h1，h2，h3，

∴h1=3

又∵OB=4，

∴S△BDO= OBh1=6，

∴ BDh3= ODh2=6，

∴h2= ，h3= ，

∴△BDO三條高的和h1+h2+h3=3+ +

（3）解：由題意可知：t=s2﹣s，

∵A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)，

∴y=a（x﹣s）2+t，

又因?yàn)樵搾佄锞�經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴0=as2+t，

∴0=as2+s2﹣s，

∴s=（a+1）s2，

當(dāng)s=0時(shí)，

此時(shí)，a全體實(shí)數(shù)，

當(dāng)s≠0時(shí)，此時(shí)﹣1≤s＜0或0＜s＜2，

∴a= ，

∴a≤﹣2或a＞﹣ ，

綜上所述，a≤﹣2或a＞﹣

【解析】（1）由題意可知A（2，1），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1，由于拋物線過(guò)原點(diǎn)，所以將（0，0）代入即可求出a的值．（2）根據(jù)A（2，1）可求出OA的直線解析式，由于DB∥OA，所以一次項(xiàng)系數(shù)必定相等，從而可求出直線BD的解析式，聯(lián)立直線BD與拋物線的解析式即可求出D的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理分別求出OD、BD的長(zhǎng)度，再求出BOD的面積即可求出△BDO三條高的和．（3）t=s2﹣s，由于A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)，所以y=a（x﹣s）2+t，將（0，0）代入該式后可得s=（a+1）s2 ， 利用s的范圍即可求出a的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．才能正確解答此題．