Question

【題目】閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓 的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE． ①求證：△ACE是奇異三角形；
②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，

∴符合奇異三角形”的定義．

∴是真命題

（2）解：∵∠C=90°，

則a2+b2=c2①，

∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，

∴a2+c2=2b2②，

由①②得：b= a，c= a，

∴a：b：c=1： ：

（3）解：∵①AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，

∵點D是半圓 的中點，

∴ = ，

∴AD=BD，

∴AB2=AD2+BD2=2AD2，

∴AC2+CB2=2AD2，

又∵CB=CE，AE=AD，

∴AC2+CE2=2AE2，

∴△ACE是奇異三角形；

②由①可得△ACE是奇異三角形，

∴AC2+CE2=2AE2，

當△ACE是直角三角形時，

由（2）得：AC：AE：CE=1： ： 或AC：AE：CE= ： ：1，

當AC：AE：CE=1： ： 時，AC：CE=1： ，即AC：CB=1： ，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°；

當AC：AE：CE= ： ：1時，AC：CE= ：1，即AC：CB= ：1，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°．

∴∠AOC的度數為60°或120°．

【解析】（1）根據“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；（2）根據勾股定理與奇異三角形的性質，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2 ， 用a表示出b與c，即可求得答案；（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE=1： ： 與AC：AE：CE= ： ：1去分析，即可求得結果．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．