Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，A，C為切點，∠BAC=30°．
（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB=2，求PA的長（結果保留根號）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據切線的性質及切線長定理可證明△PAC為等邊三角形，則∠P的大小可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA=PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°．
又∵PA、PC切⊙O于點A、C，
∴PA=PC，
∴△PAC為等邊三角形，
∴∠P=60°．

（Ⅱ）如圖，連接BC，則∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
∵cos∠BAC=

AC

AB

，
∴AC=AB•cos∠BAC=2cos30°=

3

．
∵△PAC為等邊三角形，
∴PA=AC，
∴PA=

3

．

點評：本題考查的是切線長定理，切線長定理圖提供了很多等線段，分析圖形時關鍵是要仔細探索，找出圖形的各對相等切線長．