Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．將△ABC繞點A逆時針旋轉α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C兩點的對應點分別為點D，E，BD，CE所在直線交于點F．

（1）當△ABC旋轉到圖1位置時，∠CAD＝　 　（用α的代數式表示），∠BFC的度數為　 　°；

（2）當α＝45時，在圖2中畫出△ADE，并求此時點A到直線BE的距離．

Answer 1

【答案】（1）α﹣45°，45°；（2）圖詳見解析，點A到直線BE的距離為 ．

【解析】

（1）如圖1，利用旋轉的性質得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，則∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性質和三角形內角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．

（2）如圖2，△ADE為所作，BE與AC相交于G，利用旋轉的性質得點D與點C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，則△ABE為等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再證明AG⊥BE，然后根據等腰直角三角形的性質求出AG的長即可．

解：（1）∵△ABC繞點A逆時針旋轉α度（0＜α＜180）得到△ADE，如圖1，

∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，

而∠BAC＝45°，

∴∠CAD＝α﹣45°；

∵AB＝AD，AE＝AC，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，

∴∠ABD＝∠ACE，

∴∠BFC＝∠BAC＝45°．

故答案為α﹣45°；45°；

（2）如圖2，△ADE為所作，BE與AC相交于G，

∵△ABC繞點A逆時針旋轉45度得到△ADE，

而AB＝AC，∠BAC＝45°，

∴點D與點C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴BE＝AB＝2，

而AG平分∠BAE，

∴AG⊥BE，

∴AG＝BE＝，

即此時點A到直線BE的距離為．