Question

【題目】(1)發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b．

填空：當點A位于　 　時，線段AC的長取得最大值，且最大值為　 　(用含a、b的式子表示)；

(2)應用：點A為線段BC外一動點，且BC＝4，AB＝2，如圖2，分別以AB、AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊△ACE，連接CD、BE．

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值；

③直接寫出△DBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)CB的延長線上，a+b；(2)①CD＝BE，理由見解析；②6；③4.

【解析】

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；

（2）①根據等邊三角形的性質得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD＝BE；

②由于線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；

③作DP⊥CB，交CB延長線于點P，當DB⊥BC時，DP取得最大值，最大值為2，再根據三角形的面積公式求解可得．

(1)∵點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB＝a+b，

故答案為：CB的延長線上，a+b；

(2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

∵

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，

由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC＝AB+BC＝6；

③如圖，過點D作DP⊥CB，交CB延長線于點P，

在Rt△BDP中，DP＜DB，

當DB⊥BC時，DP取得最大值，最大值為2，

∴△DBC面積的最大值為