Question

如圖，拋物線y=﹣x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】代數幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）由待定系數法建立二元一次方程組求出求出m、n的值即可；

（2）由（1）的解析式求出頂點坐標，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P1，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P₂，P₃，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質及勾股定理就可以求出結論；

（3）先求出BC的解析式，設出E點的坐標為（a，﹣ a+2），就可以表示出F的坐標，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論．

【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x²+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2；

（2）∵y=﹣x²+x+2，

∴y=﹣（x﹣）²+，

∴拋物線的對稱軸是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．

作CM⊥x對稱軸于M，

∴MP₁=MD=2，

∴DP₁=4．

∴P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）；

（3）當y=0時，0=﹣x²+x+2

∴x₁=﹣1，x₂=4，

∴B（4，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，﹣ a+2），F（a，﹣ a²+a+2），

∴EF=﹣a²+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a²+2a（0≤a≤4）．

∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，

=+a（﹣a²+2a）+（4﹣a）（﹣a²+2a），

=﹣a²+4a+（0≤a≤4）．

=﹣（a﹣2）²+

∴a=2時，S_{四邊形CDBF的面積最大}=，

∴E（2，1）．

【點評】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的解析式的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用，四邊形的面積的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．