Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，AD＝OC．

（1）求證：四邊形OCAD是平行四邊形；

（2）若AD與⊙O相切，求∠B．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠B＝45°．

【解析】

（1）根據已知條件得∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，然后根據三角形內角和定理得出∠AOC＝∠OAD，從而可知OC∥AD，即可求證結論；

（2）根據切線的性質可知∠OAD＝90°根據等邊對等角可得∠AOD＝∠ADO＝45°，根據平行線的性質可得：∠OAC＝∠AOD＝45°，由直徑所對的圓周角等于90°可得：∠ACB＝90°，繼而即可求解．

（1）證明：∵OA＝OC＝AD，

∴∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，

∵OD∥AC，

∴∠OAC＝∠AOD，

∴180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，

即∠AOC＝∠OAD，

∴OC∥AD，

∵OD∥AC，

∴四邊形OCAD是平行四邊形；

（2）∵AD與⊙O相切，OA是半徑，

∴∠OAD＝90°，

∵OA＝OC＝AD，

∴∠AOD＝∠ADO＝45°，

∵OD∥AC，

∴∠OAC＝∠AOD＝45°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝45°．