Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），點C三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）x軸上是否存在點P，使PC+PB最小？若存在，請求出點P的坐標及PC+PB的最小值；若不存在，請說明理由；

（3）連接BC，設E為線段BC中點．若M是拋物線上一動點，將點M繞點E旋轉180°得到點N，當以B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形時，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，0）；PC+PB的最小值；（3）N（，）或（，）．

【解析】

（1）先按拋物線與x軸的交點坐標設出拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），展開，即可得出結論；

（2）在x軸下方作∠ABD=30°，交y軸負半軸于D，先求出OD=，BD= ，進而求出CD=3+ ，再判斷出當點C，P，B在同一條直線上時，PC+最小，最小值為CB'，即可得出結論；

（3）先判斷出點M在x軸上方的拋物線，再構造出△BEM∽△CFM，得出即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖，

在x軸下方作∠ABD＝30°，交y軸負半軸于D，則BD＝2OD，

∵B（3，0），

∴OB＝3，

根據勾股定理得，BD2﹣OD2＝32，

∴4OD2﹣OD2＝9，

∴OD＝ ，BD＝ ，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

∴OC＝3，

∴CD＝3+ ，

過點P作PB'⊥BD于B'，

在Rt△PB'B中，PB'＝PB，

∴PC+ PB＝PC+PB'，

當點C，P，B在同一條直線上時，PC+PB最小，最小值為CB'，

∵S△BCD＝CDOB＝BDCB'，

∴

即PC+PB的最小值 ，

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠DBC＝45°+30°＝75°，

∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，

∴∠OCP＝30°，

∵OC＝3，

∴OP＝ ，

∴P（，0）；

（3）如備用圖，

設M（m，﹣m2+2m+3），

以B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形，

∴∠BMC＝90°，

∵點A在x軸負半軸，且∠BOC＝90°，

∴點M在x軸上方的拋物線，

過點M作ME⊥x軸于E，作MF⊥y軸于F，

∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，

∴四邊形OEMF是矩形，

∴∠EMF＝90°，

∴∠BME＝∠CMF，

∵ ∠BEM＝∠CFM＝90°，

∴△BEM∽△CFM，

∴

∴

∴m＝ ，

∴M（ ， ）或（ ，），

∵點N是點M關于點E（，）的對稱點，

∴或