Question

【題目】如圖，AB是半徑為2的⊙O的直徑，直線l與AB所在直線垂直，垂足為C，OC＝3，P是圓上異于A、B的動點，直線AP、BP分別交l于M、N兩點．

（1）當∠A＝30°時，MN的長是　 ；

（2）求證：MCCN是定值；

（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，請寫出相應的最值，若不存在，請說明理由；

（4）以MN為直徑的一系列圓是否經過一個定點，若是，請確定該定點的位置，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MCNC＝5；（3）a+b的最小值為2；（4）以MN為直徑的一系列圓經過定點D，此定點D在直線AB上且CD的長為．

【解析】

(1)由題意得AO＝OB＝2、OC＝3、AC＝5、BC＝1，根據MC＝ACtan∠A＝ 、CN＝可得答案；

(2)證△ACM∽△NCB得，由此即可求得答案；

(3)設MC＝a、NC＝b，由(2)知ab＝5，由P是圓上異于A、B的動點知a＞0，可得b＝(a＞0)，根據反比例函數的性質得a+b不存在最大值，當a＝b時，a+b最小，據此求解可得；

(4)設該圓與AC的交點為D，連接DM、DN，證△MDC∽△DNC得，即MCNC＝DC2＝5，即DC＝，據此知以MN為直徑的一系列圓經過定點D，此頂點D在直線AB上且CD的長為．

(1)如圖所示，根據題意知，AO＝OB＝2、OC＝3，

則AC＝OA+OC＝5，BC＝OC﹣OB＝1，

∵AC⊥直線l，

∴∠ACM＝∠ACN＝90°，

∴MC＝ACtan∠A＝5×＝，

∵∠ABP＝∠NBC，

∴∠BNC＝∠A＝30°，

∴CN＝，

則MN＝MC+CN＝+＝，

故答案為：；

(2)∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，

∴△ACM∽△NCB，

∴，

即MCNC＝ACBC＝5×1＝5；

(3)設MC＝a、NC＝b，

由(2)知ab＝5，

∵P是圓上異于A、B的動點，

∴a＞0，

∴b＝(a＞0)，

根據反比例函數的性質知，a+b不存在最大值，當a＝b時，a+b最小，

由a＝b得a＝，解之得a＝(負值舍去)，此時b＝，

此時a+b的最小值為2；

(4)如圖，設該圓與AC的交點為D，連接DM、DN，

∵MN為直徑，

∴∠MDN＝90°，

則∠MDC+∠NDC＝90°，

∵∠DCM＝∠DCN＝90°，

∴∠MDC+∠DMC＝90°，

∴∠NDC＝∠DMC，

則△MDC∽△DNC，

∴，即MCNC＝DC2，

由(2)知MCNC＝5，

∴DC2＝5，

∴DC＝，

∴以MN為直徑的一系列圓經過定點D，此定點D在直線AB上且CD的長為．