Question

【題目】如圖，已知BD垂直平分線段AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC

（1）證明：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD垂直平分AC，

∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB與△CDB中，

，

∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，

∴∠BAD=∠ADF，

∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，

∴AF∥BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，

∴ABDF是菱形，

∴AB=BD=5，

∵AD=6，

設(shè)BE=x，則DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，

即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x= ，

∴AE= = ，

∴AC=2AE= ．

【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到相線段兩端點的距離相等，得出AB=BC，AD=DC，即可證得△ADB≌△CDB，得出對應(yīng)角相等，再根據(jù)已知證明AB∥FD，AF∥BD，即可證得結(jié)論。
（2）根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知ABDF是菱形，BD=DF=5，然后在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用勾股定理，得出AE2=AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，設(shè)BE=x，建立方程，求出BE的長，再求出AE的長，根據(jù)AC=2AE，即可求得結(jié)果。
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．