Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（﹣x），當x∈（0， ]時，f（x）= （1﹣x），則f（x）在區間（1， ）內是（ ）
A.減函數且f（x）＞0
B.減函數且f（x）＜0
C.增函數且f（x）＞0
D.增函數且f（x）＜0

Answer 1

【答案】B
【解析】解；因為定義在R上的奇函數滿足f（x+1）=f（﹣x）， 所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
所以函數的周期是2，
則f（x）在（1， ）上圖象和在（﹣1，﹣ ）上的圖象相同，
設x∈（﹣1，﹣ ），則x+1∈（0， ），
又當x∈（0， ]時，f（x）= （1﹣x），
所以f（x+1）= （﹣x），
由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）= （﹣x），
所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ （﹣x），
由x∈（﹣1，﹣ ）得，f（x）=﹣ （﹣x）在（﹣1，﹣ ）上是減函數，且f（x）＜f（﹣1）=0，
所以則f（x）在區間（1， ）內是減函數且f（x）＜0，
故選：B．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調性的綜合，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．