Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的函數解析式為，點是二次函數的圖象上一點，過點作直線軸，且點的橫坐標為，二次函數的圖象與二次函數的圖象關于直線成軸對稱．

（1）直接寫出二次函數圖象的對稱軸（用含的代數式表示）

（2）當點落在軸上時，求二次函數的解析式．

（3）當點在軸的右側時，過點作射線軸，設射線與的圖象交于點，的圖象在上方的部分記為，的圖象的剩余部分沿翻折得到，由和所組成的圖象記為．

①當點的縱坐標與橫坐標之和為6時，求的值

②當時，隨著的增大，圖象所對應函數的函數值先減小后增大時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①或；②，．

【解析】

（1）由N1解析式可知N1的對稱軸為y軸，根據直線軸及點E的橫坐標可知直線l的解析式為x=t，根據軸對稱性質即可得N2的對稱軸；

（2）根據N1解析式可求出N1圖象與x軸的交點坐標為（2，0）和（-2，0），由點E在x軸上可得點E坐標為（2，0）或（-2，0），由（1）可知N2的對稱軸為x=4或x=-4，利用y=a(x-h)2+k的性質即可得出N2的解析式；

（3）①由EF//x軸可得點F的縱坐標為-t2+4，由N2對稱軸為x=2t可得點F的橫坐標為3t，根據點F橫坐標與縱坐標的和為6列方程求出t值即可；

②由E、F的橫坐標及N2對稱軸，根據時，隨著的增大，圖象所對應函數的函數值先減小后增大可得或，解不等式組即可得答案；

（1）∵二次函數N1的解析式為y=-x2+4，

∴N1的對稱軸為y軸，

∵過點作直線軸，且點的橫坐標為，

∴直線l的解析式為x=t，

∵二次函數的圖象與二次函數的圖象關于直線成軸對稱，

∴N2的對稱軸為直線．

（2）∵二次函數N1的解析式為y=-x2+4，

∴N1圖象與x軸的交點坐標為（2，0）和（-2，0），

∵點E落在x軸上，

∴點E坐標為（2，0）或（-2，0），

由（1）可知N2的對稱軸為直線x=2t，

∴N2的對稱軸為x=4或x=-4，

∵二次函數的圖象與二次函數的圖象關于直線成軸對稱，

∴N2的解析式為：=-x2+8x-12或=-x2-8x-12．

（3）①∵EF//x軸，點E在二次函數y=-x2+4上，

∴點F的縱坐標為-t2+4，

∵N2對稱軸為x=2t，

∴點F的橫坐標為3t，

∵點的縱坐標與橫坐標之和為6，

∴，

解得：或．

②如圖，點E橫坐標為t，M的對稱軸為x=2t，點F的橫坐標為3t，

∵時，隨著的增大，圖象所對應函數的函數值先減小后增大，

∴或，

解得：或．