Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)．

（1）用直尺和圓規(guī)作⊙O，使⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求（1）中所作⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接AE，分別作出AE，AB的垂直平分線(xiàn)，進(jìn)而得到交點(diǎn)，即為圓心，求出答案；
（2）根據(jù)題意首先得出四邊形AFE′D是矩形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．

（1）如圖1所示：
⊙O即為所求．

（2）如圖2，在（1）中設(shè)AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E′．
則AF=AB=1，∠AFE′=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠FAD=∠D=90°，
∴四邊形AFE′D是矩形，
∴E′F=AD=2，DE′=AF=1，
∴點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，
連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，

可得OA=OE=r，
∴OF=EF-OE=2-r，
∴在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，
∴r2=12+（2-r）2，
∴解得：r=，
∴⊙O的半徑為．