Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，AM是△ABC的外角∠CAE的平分線．

（1）如圖1，求證：AM∥BC；

（2）如圖2，若D是BC中點，DN平分∠ADC交AM于點N，DQ平分∠ADB交AM的反向延長線于Q，判斷△QDN的形狀并說明理由．

（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°將∠QDN繞點D旋轉一定角度，DN交邊AC于F，DQ交邊AB于H，當S△ABC＝14時，則四邊形AHDF的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ADN是等腰直角三角形，理由見解析；（3）7.

【解析】

（1）先判斷出∠B＝∠C，再用角平分線得出∠EAM＝∠MAC＝∠EAC，進而得出∠B＝∠EAC，即可得出結論；

（2）先判得出∠ADB＝∠ADC＝90°，進而借助角平分線判斷出∠QDN＝90°，再判斷出∠AND＝∠AQD，得出DQ＝DN，即可得出結論；

（3）先判斷出△BDH≌△ADF，得出S△BDH＝S△ADF，進而得出S四邊形AHDF＝S△ABD，即可得出結論．

解:（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AM平分∠EAC，

∴∠EAM＝∠MAC＝∠EAC，

∵∠EAC＝∠B+∠C，

∴∠B＝∠EAC，

∴∠EAM＝∠B，

∴AM∥BC；

（2）△ADN是等腰直角三角形，理由：

∵D是BC的中點，AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵DN平分∠ADC，DQ平分∠ADB，

∴∠ADN＝∠NDC＝45°，∠ADQ＝∠BDQ＝45°，

∴∠QDN＝90°，

∵AM∥BC，

∴∠AND＝∠NDC＝45°，∠AQD＝∠BQD＝45°，

∴∠AND＝∠AQD，

∴DQ＝DN，

∴△ADN是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，∠QDN＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠QDN+∠BAC＝180°，

∴∠AHD+∠AFD＝180°，

∵∠AHD+∠BHD＝180°，

∴∠BHD＝∠AFD，

由（2）知，∠ADB＝∠QDN＝90°，

∴∠BDH＝∠ADF，

在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，

∴BD＝CD＝AD，

∴△BDH≌△ADF（AAS），

∴S△BDH＝S△ADF，

∴S四邊形AHDF＝S△ADF+S△ADH＝S△BDH+S△ADH＝S△ABD＝S△ABC＝7，

故答案為：7．