Question

【題目】如圖，已知中，，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿AB方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿BCA方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

(1) 出發2秒后，求PQ的長；

(2) 當點Q在邊BC上運動時，通過計算說明PQ能否把的周長平分？

(3) 當點Q在邊AC上運動時，求能使成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】（1）2cm；（2）點Q在邊BC上運動時， PQ不能把△ABC的周長平分；（3）5.5秒或6秒或6.6秒．

【解析】

（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，根據勾股定理即可求得PQ的長；
（2）由勾股定理求出AC，由題意得出方程，解方程求出t，即可得出結論；
（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：
①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當CQ=BC時（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當BC=BQ時（圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
∴PQ===2（cm）；
（2）由勾股定理得：AC===10（cm），
根據題意得：BQ=2tcm，CQ=（6-2t）cm，PA=tcm，BP=（8-t）cm，
若PQ能把△ABC的周長平分，則BQ+BP=CQ+PA+AC，
即2t+8-t=6-2t+t+10，
解得：t=4，
此時CQ=6-2t=-2，
∴t=4不合題意，
∴點Q在邊BC上運動時， PQ不能把△ABC的周長平分；
（3）①當CQ=BQ時，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒；
②當CQ=BC時，如圖2所示：

則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒；
③當BC=BQ時，如圖3所示：

過B點作BE⊥AC于點E，
則BE===4.8（cm）
∴CE==3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，
△BCQ為等腰三角形．