Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設BC=a，AC=b，AB=c．

（1）特例探索
如圖1，當∠ABE=45°，c=2時，a= ，b= 　．
如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a= ，b= ．
（2）歸納證明
請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2 ， b2 ， c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發現的關系式．
（3）如圖4，在ABCD中，點E、F、G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）2；2；2；2
（2）

解：猜想：a2+b2=5c2，

如圖3，連接EF，

設∠ABP=α，

∴AP=csinα，PB=ccosα，

由（1）同理可得，PF=PA=，PE=PB=，

AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，

∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，

∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，

∴a2+b2=5c2；

（3）

解：如圖4，連接AC，EF交于H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P，

∵點E、G分別是AD，CD的中點，

∴EG∥AC，

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=2，

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分別是AD，BC的中點，

∴AE=AD，BF=BC，

∴AE=BF=CF=AD=，

∵AE∥BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中，

，

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EQ，AH分別是△AFE的中線，

由（2）的結論得：AF2+EF2=5AE2，

∴AF2=5﹣EF2=16，

∴AF=4．

【解析】（1）由等腰直角三角形的性質得到AP=BP=AB=2，根據三角形中位線的性質，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到結果；
（2）連接EF，設∠ABP=α，類比著（1）即可證得結論．
（3）連接AC交EF于H，設BE與AF的交點為P，由點E、G分別是AD，CD的中點，得到EG是△ACD的中位線于是證出BE⊥AC，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AD=BC=2，∠EAH=∠FCH根據E，F分別是AD，BC的中點，得到AE=BF=CF=AD=，證出四邊形ABFE是平行四邊形，證得EH=FH，推出EH，AH分別是△AFE的中線，由（2）的結論得即可得到結果．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的應用，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解即可以解答此題．