Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），線段BC與拋物線的對稱軸相交于點P．M、N分別是線段OC和x軸上的動點，運動時保持∠MPN=90°不變．連結MN，設MC=m．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）用含m的代數式表示△PMN的面積S，并求S的最大值；
（3）以PM、PN為一組鄰邊作矩形PMDN，當此矩形全部落在拋物線與x軸圍成的封閉區域內（含邊界）時，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）作PE⊥y軸于點E，設拋物線的對稱軸與x軸相交于點F，
易得拋物線的對稱軸為直線x=1，直線BC的解析式為y=x-3，
∴P（1，-2），
∴E（0，-2），ME=|m-1|，
∴PM=

PE2+ME2

=

m2-2m+2

，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△MPE∽△NPF，
∴

PN

PM

=

PF

PE

，
∴PN=2PM，
∴S=

1

2

PM•PN=m2-2m+2，
∵0≤m≤3，
∴當m=3時，S有最大值，最大值是5；

（3）①當點D在x軸上時，點D、M顯然分別與點O、E重合，
此時，m=1；
②當點D在拋物線上時（如圖2），作DG⊥x軸于點G，
∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠DNG+∠PNF=90°，∠NPF+∠PNF=90°，
∴∠DNG=∠NPF，
∴∠MPE=∠DNG，
在△MPE和△DNG中，

∠MPE=∠DNG ∠MEP=∠DGN MP=DN

，
∴△MPE≌△DNG（AAS），
∴DG=ME=1-m，NG=PE=1，
由（2）得：

NF

ME

=

PF

PE

，故NF=2ME=2-2m，
∴OG=1-ON=NF=2-2m，
∴D（2m-2，m-1），
代入拋物線解析式得：m-1=（2m-2）²-2（2m-2）-3，
整理得：4m²-13m+6=0，
解得：m1=

13- 73

8

，m2=

13+ 73

8

（不合題意，舍去），
∴m=

13- 73

8

時，點D恰好在拋物線上，
∴當

13- 73

8

≤m≤1時，此矩形全部落在拋物線與x軸圍成的封閉區域內．