Question

【題目】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．

（1）求證：

（2）如圖2，作CD⊥AB交于D，AO的延長線交CD于E，若AO=3，AE=4，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連BO并延長BO交AC于T．只要證明BT⊥AC，利用垂徑定理即可解決問題；
（2）延長AO并交⊙O于F，連接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解決問題.

（1）證明：連BO并延長BO交AC于T．

∵ AO=BO，

∴∠ OAB=∠ OBA，

又∵ ∠ BAC+∠ OAB=90°，

∴ ∠ BAC+∠ OBA=90°，

∴ ∠ BTA=90°，

∴ BT⊥AC，

∴ ．

（2）延長AO并交O 于F，連接CF．

∵ CD⊥ AB于D，

∴ ∠ CDA=90°，

∴ ∠ OAB+∠ A ED=90°，

∵ ∠ OAB+∠ BAC=90°，

∴ ∠ AED=∠ BAC=∠ FEC，

∵ AF為⊙ O直徑，

∴ ∠ ACF=90°，

同理：∠ FCE=∠ BAC，

∴ ∠ FEC= ∠ FCE，

∴FE=FC，

∵AO=3，AE=4，

∴OE=1，FE=FC=2，

在Rt△FCA中

∴ AC= =4