Question

（1997•昆明）已知方程2x²+（a+2）x-2a+1=0，求當a是什么值時，兩根的平方和等于3

1

4

？

Answer 1

分析：設方程兩個為x₁，x₂，根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-

a+2

2

，x₁•x₂=

-2a+1

2

，由于x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

13

4

，則（-

a+2

2

）²-2×

-2a+1

2

=

13

4

，解方程得a₁=-13，a₂=1，再分別把a的值代入方程求對應的判別式，然后根據判別式的意義確定滿足條件的a的值．

解答：解：設方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

a+2

2

，x₁•x₂=

-2a+1

2

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

13

4

，
∴（-

a+2

2

）²-2×

-2a+1

2

=

13

4

，
整理得a²+12a-13=0，解得a₁=-13，a₂=1，
當a=-13時，原方程化為2x²-11x+27=0，△=11²-4×2×27＜0，方程無實數根，所以a=-13舍去；
當a=1時，原方程化為2x²+3x-1=0，△=9-4×2×（-1）＞0，
故當a是1時，兩根的平方和等于3

1

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．