Question

如圖，直線l：y=

3

3

x+

3

3

與x軸、y軸分別交于點B、C，以點A（1，0）為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，分別交x軸、y軸正半軸于點D、E，直線l與⊙A交于點F，分別過點B、F作⊙A的切線交于點M．
（1）直接寫出點B、C的坐標；
（2）求直線MF的解析式；
（3）若點P是

BEF

上任意一點（不與B、F重合）．連接BP、FP．過點M作MN∥PF，交直線l于點N．設PB=a，MN=b，求b與a的函數關系式，并寫出自變量a的取值范圍；
（4）若將（3）中的條件點P是

BEF

上任意一點，改為點P是⊙A上任意一點，其它條件不變．當點P在⊙A上的什么位置時，△BMN為直角三角形，并寫出此時點N的坐標．（第（4）問直接寫出結果，不要求證明或計算過程）

Answer 1

分析：（1）分別令x=0，y=0即可求出B、C的坐標；
（2）可作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，根據tan∠CBO求出∠CBO=30°，而圓的半徑AB=2，所以HA=

1

2

AB=1，BH=

3

，利用垂徑定理可求BF=2

3

，所以FG=

1

2

BF=

3

BC=3OG=2，所以F（2，

3

），又因∠MBF=60°，BM=MF，可知MB=MF=BF=2

3

，M（-1，2

3

）；再設直線MF的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求出直線的解析式；
（3）因為MN∥PF，所以∠NMF=∠PFM，又因∠PFM=∠PBF，所以∠PBF=∠FMN，進而可證△PBF∽△FMN，所以

PB

FM

=

BF

MN

，代入相關數據，即可求出a、b的關系式，且0＜a＜2

3

；
（4）因為當點P與點E或與點D重合時，△BMN為直角三角形，所以此時點N的坐為（5，2

3

），（

1

2

，

3

2

）．

解答：解：（1）B（-1，0），C（0，

3

3

）；

（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，
tan∠CBO=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠CBO=30°
∴HA=

1

2

AB=1，
∴BH=

3

，BF=2BH=2

3

，
∴FG=

1

2

BF=

3

，BC=3OG=2，
∴F（2，

3

），
∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2

3

，
∴M（-1，2

3

），
設直線MF的解析式為y=kx+b，
∴

2 3 =-k+b 3 =2k+b

，
∴

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
∴y=-

3

3

x+

5

3

3

y；

（3）∵MN∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴

PB

FM

=

BF

MN

，
∴

a

2 3

=

2 3

b

，
∴ab=12，
∴b=

12

a

，
0＜a＜2

3

；

（4）當點P與點E或與點D重合時，△BMN為直角三角形，
此時點N的坐為（5，2

3

），（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題需仔細分析題意，利用相似三角形的性質和圓的有關知識即可解決問題．