Question

【題目】已知在△ABC中，AB＝AC，射線BM、BN在∠ABC內部，分別交線段AC于點G、H．

（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于點D，分別交BC、BM于點E、F．

①求證：∠1＝∠2；

②如圖2，若BF＝2AF，連接CF，求證：BF⊥CF；

（2）如圖3，點E為BC上一點，AE交BM于點F，連接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）2

【解析】

（1）①只要證明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解決問題；

②只要證明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；

（2）在BF上截取BK＝AF，連接AK．只要證明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再證明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解決問題；

（1）①證明：如圖1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AD⊥BN，

∴∠ADB＝90°，

∵∠MBN＝30°，

∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，

∴∠1＝∠2

②證明：如圖2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，

∴BF＝2DF，

∵BF＝2AF，

∴BF＝AD，

∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，

∴△BFC≌△ADB，

∴∠BFC＝∠ADB＝90°，

∴BF⊥CF

（2）在BF上截取BK＝AF，連接AK．

∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，

∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，

∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，

∴∠1+∠4＝∠2+∠4

∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，

∴△ABK≌CAF，

∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，

∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，

∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，

∴AF＝FK＝BK，

∴S△ABK＝S△AFK，

∴．