Question

如圖，在正方形中，是邊上的中點，與相交于點，連接.(注：正方形的四邊相等，四個角都是直角，每一條對角線平分一組對角). 
(1) 在不增加點和線的前提下,直接寫出圖中所有的全等三角形．（不要求證明）
(2) 連接試判斷與的位置關系,并證明你的結論．
(3)延長交于點,試判斷與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

（1）△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△BCF≌△DCF；（2）AE⊥DF；（3）BM=MC．

試題分析：（1）根據正方形的性質得到相關的條件即可找出全等的三角形；
（2）可證△BCF≌△DCF得∠CBF=∠CDF，再證△ADE≌△BCE得∠DAE=∠CBE，故∠DAE=∠CDF，又∠DAE+∠AED=90°，則∠CDF +∠AED=90°，即AE⊥DF；
（3）可證△DCM≌△BCE得CE=CM，又CE=CD，CD=BC，故CM=BC，即BM=MC．
（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；
（2）AE⊥DF．
證明：設AE與DF相交于點H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF．
∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHD=90°．
∴AE⊥DF；
（3）如圖所示：

∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．
∴CE=CM，
又∵E為CD中點，且CD=CB，
∴CE=CD=BC，
∴CM=CB，即M為BC中點，
∴BM=MC．
點評：解答本題的關鍵是充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件，在判定全等后利用全等三角形的性質解題．