Question

【題目】如圖，在中，,,分別為,邊上的高，連接,過點作與點，為中點，連接，．

（1）如圖，若點與點重合，求證：；

（2）如圖，請寫出與之間的關系并證明．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,證明詳見解析.

【解析】

(1) 利用條件先△DAE≌△DBF,從而得出△FDE是等腰直角三角形,再證明△AEF是等腰直角三角形,即可.

(2) 延長DG至點M,使GM=DG,交AF于點H,連接BM, 先證明△BGM≌△EGD,再證明△BDM≌△DAF即可推出.

解:（1）證明:設BE與AD交于點H..如圖，

∵AD,BE分別為BC,AC邊上的高,

∴∠BEA=∠ADB=90°.

∵∠ABC=45°,

∴△ABD是等腰直角三角形.

∴AD=BD.

∵∠AHE=∠BHD,

∴∠DAC=∠DBH.

∵∠ADB=∠FDE=90°,

∴∠ADE=∠BDF.

∴△DAE≌△DBF.

∴BF=AE,DF=DE.

∴△FDE是等腰直角三角形.

∴∠DFE=45°.

∵G為BE中點,

∴BF=EF.

∴AE=EF.

∴△AEF是等腰直角三角形.

∴∠AFE=45°.

∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.

（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延長DG至點M,使GM=DG,交AF于點H,連接BM,

∵點G為BE的中點,BG=GE.

∵∠BGM∠EGD,

∴△BGM≌△EGD.

∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.

∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.

∵∠DAC=∠DBE,

∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.

∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,

∴∠BDF=45°-∠DBE.

∵∠ADE=∠BDF,

∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.

∵BD=AD,

∴△BDM≌△DAF.

∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.

∵∠BDM+∠MDA=90°,

∴∠MDA+∠FAD=90°.

∴∠AHD=90°.

∴AF⊥DG.

∴AF=2DG,且AF⊥DG