Question

7．已知：如圖，?ABCD的兩條對角線相交于點O，E是BO的中點．過點B作AC的平行線BF，交CE的延長線于點F，連接AF．
（1）求證：△FBE≌△COE；
（2）將?ABCD添加一個條件，使四邊形AFBO是菱形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS證得兩個三角形全等即可．
（2）當平行四邊形ABCD的對角線相等，即平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．

解答 （1）證明：如圖，取BC的中點G，連接EG．
∵E是BO的中點，
∴EG是△BFC的中位線，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF．
同理，EG=$\frac{1}{2}$OC，
∴BF=OC．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，
∴BF=OC．
又∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠COE．
在△FBE△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEC=∠BEF}&{\;}\\{∠EOC=∠EBF}&{\;}\\{OC=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FBE≌△COE（AAS）；
（2）解：當AC=BD時，四邊形AFBO是菱形．理由如下：
∵AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴平行四邊形AFBO是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質以及菱形的判定，有利于學生思維能力的訓練．涉及的知識點有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；矩形的對角線相等．