Question

【題目】如圖1，在 中， ，AC=BC， ， ，垂足分別為D，E．

（1）若AD=2．5cm，DE=1．7cm，求BE的長．

（2）如圖2，在原題其他條件不變的前提下，將CE所在直線旋轉到 ABC的外部，請你猜想AD，DE，BE三者之間的數量關系，直接寫出結論：________．（不需證明）

（3）如圖3，若將原題中的條件改為：“在 ABC中，AC=BC，D,C,E三點在同一條直線上，并且有 ，其中 為任意鈍角”，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=0．8cm；（2）AD+BE=DE；（3）成立，證明詳見解析．

【解析】

（1）利用垂直的定義及同角的余角相等，可證得∠EBC=∠DCA，利用AAS可證得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的對應邊相等，可證得BE=CD，CE=AD，從而可求出DC的長，即可得到BE的長．

（2）利用垂直的定義及同角的余角相等，可證得∠EBC=∠DCA，利用AAS可證得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的對應邊相等，可證得BE=CD，CE=AD，然后根據DE＝CE＋DE，即可證得結論．

（3）利用同樣的方法，可證得BE=CD，CE=AD，然后根據DE=EC+CD，即可得到DE，AD，BE之間的數量關系．

（1）解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

在 和 中，

，

，

∵DC=CE-DE，DE=1．7cm，

∴BE=0．8cm

（2）AD+BE=DE，（不需證明）理由如下：

證明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE＝DC，CE＝AD，

∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE

（3）（2）中的猜想還成立，

證明：∵ ， ， ，

∴

在 和 中，

，

，

∴ ， ，

∴