Question

【題目】如圖1所示，點E在弦AB所對的優弧上，且為半圓，C是上的動點，連接CA、CB，已知AB＝4cm，設B、C間的距離為xcm，點C到弦AB所在直線的距離為y1cm，A、C兩點間的距離為y2cm．

小明根據學習函數的經驗，分別對函數y1、y2歲自變量x的變化而變化的規律進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整．

（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1、y2與x的幾組對應值：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	0.78	1.76	2.85	3.98	4.95	4.47
y2/cm	4	4.69	5.26		5.96	5.94	4.47

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點（x，y1），（x，y2），并畫出函數y1、y2的圖象；

（3）結合函數圖象，解決問題：

①連接BE，則BE的長約為　 　cm．

②當以A、B、C為頂點組成的三角形是直角三角形時，BC的長度約為　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①6；②6或4.47．

【解析】

（1）由題意得出BC＝3cm時，CD＝2.85cm，從點C與點B重合開始，一直到BC＝4，CD、AC隨著BC的增大而增大，則CD一直與AB的延長線相交，由勾股定理得出BD＝，得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC即可；

（2）描出補全后的表中各組數值所對應的點（x，y1），（x，y2），畫出函數y1、y2的圖象即可；

（3）①∵BC＝6時，CD＝AC＝4.47，即點C與點E重合，CD與AC重合，BC為直徑，得出BE＝BC＝6即可；

②分兩種情況：當∠CAB＝90°時，AC＝CD，即圖象y1與y2的交點，由圖象可得：BC＝6；

當∠CBA＝90°時，BC＝AD，由圓的對稱性與∠CAB＝90°時對稱，AC＝6，由圖象可得：BC＝4.47．

（1）由表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1、y2與x的幾組對應值知：BC＝3cm時，CD＝2.85cm，從點C與點B重合開始，一直到BC＝4，CD、AC隨著BC的增大而增大，則CD一直與AB的延長線相交，如圖1所示：

∵CD⊥AB，

∴（cm），

∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），

∴（cm）；

補充完整如下表：

（2）描出補全后的表中各組數值所對應的點（x，y1），（x，y2），畫出函數y1、y2的圖象如圖2所示：

（3）①∵BC＝6cm時，CD＝AC＝4.47cm，即點C與點E重合，CD與AC重合，BC為直徑，

∴BE＝BC＝6cm，

故答案為：6；

②以A、B、C為頂點組成的三角形是直角三角形時，分兩種情況：

當∠CAB＝90°時，AC＝CD，即圖象y1與y2的交點，由圖象可得：BC＝6cm；

當∠CBA＝90°時，BC＝AD，由圓的對稱性與∠CAB＝90°時對稱，AC＝6cm，由圖象可得：BC＝4.47cm；

綜上所述：BC的長度約為6cm或4.47cm；

故答案為：6或4.47．