Question

有一張矩形紙片ABCD，按下面步驟進行折疊：
第一步：如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點B、D重合，點C落在點C′處，得折痕EF；
第二步：如圖②，將五邊形AEFC′D折疊，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打開；
第三步：如圖③，進一步折疊，使AE、C′F均落在DG上，點A、C′落在點A′處，點E、F落在點E′處，得折痕MN、QP．
這樣，就可以折出一個五邊形DMNPQ．

（1）請寫出圖①中一組相等的線段

 

寫出一組即可；
（2）若這樣折出的五邊形DMNPQ，如圖③，恰好是一個正五邊形，當AB=a，AD=b，DM=m時，有下列結論：
①a²-b²=2abtan18°；②m=

a2+b2

•tan18°；
③b=m+atan18°；④b=

3

2

m+mtan18°．
其中，正確結論的序號是

 

把你認為正確結論的序號都填上．

Answer 1

分析：（1）由翻折的性質知：C′D與CD是對應線段，而AB=CD，故有AD=C′D；
（2）由題意知點G是矩形的中心，即延長DG過B點，延長MN也過點B，可得∠DBM=∠ABM=∠ADE=18°，然后分析四個結論．

解答：解：（1）由題意知，C′D與CD是對應線段，而AB=CD，故有AD=C′D；

（2）由題意知點G是矩形的中心，即延長DG過B點，延長MN也過點B，
由于五邊形DMNPQ，恰好是一個正五邊形，且由折疊的過程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，
∴∠DBM=∠ABM=18°，
∴∠DBA=36°．
∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，
∴∠ADE=∠MDB-∠EDB=54°-36°=18°．
在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD²+AE²=DE²=BE²，即b²+AE²=（a-AE）²，
解得AE=

a2-b2

2a

．
∵tan∠ADE=tan18°=

AE

AD

=

AE

b

=

a2-b2

2ab

，
∴a²-b²=2abtan18°，即①正確；
∵PN=DM，
∴PG=NG=

1

2

PN=

1

2

DM=

1

2

m，
∵BG=

1

2

DB=

1

2

a2+b2

，NG=

1

2

DM=

1

2

m，NG⊥BD，
∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=

1

2

m：

1

2

a2+b2

．
∴m=

a2+b2

•tan18°，即②正確．
∵AM=AD-DM=b-m，AB=a，
∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=（b-m）：a，
∴b=m+atan18°，即③正確，同時④錯誤．
故①②③正確．

點評：本題考查了翻折的性質：對應角相等，對應邊相等及正五邊形的性質、勾股定理．