Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的⊙A的圓心與坐標原點O重合，線段BC的端點分別在x軸與y軸上，點B的坐標為（6，0），且sin∠OCB=．

（1）若點Q是線段BC上一點，且點Q的橫坐標為m．

①求點Q的縱坐標；（用含m的代數式表示）

②若點P是⊙A上一動點，求PQ的最小值；

（2）若點A從原點O出發，以1個單位/秒的速度沿折線OBC運動，到點C運動停止，⊙A隨著點A的運動而移動．

①點A從O→B的運動的過程中，若⊙A與直線BC相切，求t的值；

②在⊙A整個運動過程中，當⊙A與線段BC有兩個公共點時，直接寫出t滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）①﹣m+8；②PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①t=時，⊙A與直線BC相切；②＜t≤5或7≤t≤15時，⊙A與線段BC有兩個公共點．

【解析】

試題分析：（1）①根據正切的概念求出BC=10，OC=8，運用待定系數法求出直線BC的解析式，根據函數圖象上點的坐標特征解得即可；

②作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時PQ最小，根據三角形面積公式計算即可；

（2）①根據切線的性質和相似三角形的性質計算即可；

②結合圖形、運用直線與圓的位置關系定理解答．

解：（1）①∵點B的坐標為（6，0），tan∠OCB=，

∴BC=10，OC=8，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

，

解得，

∵點Q的橫坐標為m，

∴點Q的縱坐標為﹣m+8；

②如圖1，作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時PQ最小，

×AB×OQ=×BO×CO，

解得，OQ=4.8，

∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；

（2）①如圖2，⊙A與直線BC相切于H，

則AH⊥BC，又∠BOC=90°，

∴△BHA∽△BOC，

∴=，即=，

解得，BA=，

則OA=6﹣=，

∴t=時，⊙A與直線BC相切；

②由（2）①得，t=時，⊙A與直線BC相切，

當t=5時，⊙A經過點B，

當t=7時，⊙A經過點B，

當t=15時，⊙A經過點C，

故＜t≤5或7≤t≤15時，⊙A與線段BC有兩個公共點．