Question

【題目】如圖，一次函數y=﹣x+4的圖象與反比例函數y=（k為常數，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B（3，b）兩點．

（1）求反比例函數的表達式

（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標

（3）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的表達式y=，（2）點P坐標（，0）， (3)S△PAB= 1.5．

【解析】（1）把點A（1，a）代入一次函數中可得到A點坐標，再把A點坐標代入反比例解析式中即可得到反比例函數的表達式；（2）作點D關于x軸的對稱點D，連接AD交x軸于點P，此時PA+PB的值最小.由B可知D點坐標，再由待定系數法求出直線AD的解析式，即可得到點P的坐標；（3）由S△PAB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面積.

解：（1）把點A（1，a）代入一次函數y=﹣x+4，

得a=﹣1+4，

解得a=3，

∴A（1，3），

點A（1，3）代入反比例函數y=，

得k=3，

∴反比例函數的表達式y=，

（2）把B（3，b）代入y=得，b=1

∴點B坐標（3，1）；

作點B作關于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，

∴D（3，﹣1），

設直線AD的解析式為y=mx+n，

把A，D兩點代入得， ，解得m=﹣2，n=5，

∴直線AD的解析式為y=﹣2x+5，

令y=0，得x=，

∴點P坐標（，0），

(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．

點晴：本題是一道一次函數與反比例函數的綜合題，并與幾何圖形結合在一起來求有關于最值方面的問題.此類問題的重點是在于通過待定系數法求出函數圖象的解析式，再通過函數解析式反過來求坐標，為接下來求面積做好鋪墊.