Question

【題目】如圖，已知平面直角坐標系中，點C（3，4），以OC為邊作菱形OABC，且點A落在x軸的正半軸上，點D為y軸上的一個動點，設D（0，m），連結DB，交直線OC于點E．

（1）填空：B的坐標為（　 　），sin∠AOC＝　 　；

（2）當點D在y軸正半軸時，記△DEO的面積為S1，△BCE的面積為S2，當S1＝S2時，求m的值．

（3）過點D，O，A作⊙M，交線段OC于點F．

①當⊙M與菱形OABC一邊所在的直線相切時，求所有滿足條件的m的值．

②當OD＝DE時，直接寫出OE:EF的值．

Answer 1

【答案】（1）（8，4），；（2）m＝；（3）①滿足條件的m的值為或；②OE:EF的值8:5．

【解析】

（1）如圖1中，作CH⊥OA于H．根據點C的坐標求出OH，CH 利用勾股定理求出OC即可解決問題；

（2）如圖1中，延長BC交OD于F．由S1=S2，推出S△OCF=S△BDF，由此構建方程即可解決問題；

（3）①分兩種情形：如圖2中，當⊙M與BC相切時，根據PQ=DM，構建方程即可解決問題．如圖3中，當⊙M與AB相切時，AD⊥AB，設AD交OC于Q．根據tam∠OAD=tan∠DOC=，構建方程即可解決問題；

②如圖4中，作BG⊥BC交OC的延長線于G，連接DF，AF，作FP⊥OA于P．首先求出BG，再證明BE=BG，根據DE+BE=BD，構建方程求出m，設OF=5k，則FP=4k，OP=3k，在Rt△APF中，根據AF2=PF2+PA2，構建方程求出k即可解決問題．

（1）如圖1中，作CH⊥OA于H．

∵C(3，4)，CH⊥OA，

∴OH＝3，CH＝4，

∴OC＝＝＝5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝AB＝OC＝BC＝5，BC∥OA，

∴B(8，4)，

∴sin∠AOC＝＝．

（2）如圖1中，延長BC交OD于F．

∵S1＝S2，

∴S△OCF＝S△BDF，

∴×3×4＝×(4﹣m)×8，

解得m＝．

（3）①如圖2中，延長BC交OD于P，作MQ⊥OD于Q．

當⊙M與BC相切時，PQ＝DM．

則有4﹣＝，

解得m＝．

如圖3中，當⊙M與AB相切時，AD⊥AB，設AD交OC于Q．

∵OC//AB，

∴OC⊥AD，

∴∠AQD＝90°，

∴∠DOQ+∠AOQ＝90°，∠AOQ+∠OAQ＝90°，

∴∠DOQ＝∠OAQ，

∴tam∠OAD＝tan∠DOC＝，

∴＝，

∴＝，

∴m＝．

綜上所述，滿足條件的m的值為或．

②如圖4中，作BG⊥BC交OC的延長線于G，連接DF，AF，作BH⊥OG于H，作FP⊥OA于P．

∵BC//OA，

∴tan∠GCB＝tan∠COA＝＝，

∴BG＝，

∵OD//BG，

∴∠G＝∠DOE，

∵DO＝ED，

∴∠DOE＝∠DEO＝∠BEG，

∴∠G＝∠BEG，

∴BE＝BG＝，

∵DE+BE＝BD，

∴(m+)2＝82+(4﹣m)2，

解得m＝，

設OF＝5k，則FP＝4k，OP＝3k，

∵∠ODF＝∠DAF，

∴tan∠DAF＝＝，

∴sin∠DAF＝，

∵AD＝＝，

∴AF＝，

在Rt△APF中，∵AF2＝PF2+PA2，

∴×(m2+25)＝(4k)2+(5﹣3k)2，

把m＝代入，整理得：45k2﹣54k+13＝0，

解得k＝（舍去）或，

∴OF＝．

∵sin∠G＝sin∠DAF＝，

∴GH=，

∴EG=2GH=，

∵BG//OD，

∴△ODE∽△GBE，

∴，

∵OE＝，

∴EF＝OF﹣OE＝，

∴＝＝．