Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點的坐標分別為A（-6，9），B（0，9），C（3，0），D（-3，0），拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）過A、B兩點，頂點為M．

（1）若拋物線過點C，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點M落在△ACD的內部（包括邊界），求a的取值范圍；
（3）若a＜0，連結CM交線段AB于點Q（Q不與點B重合），連接DM交線段AB于點P，設S₁=S_△ADP+S_△CBQ，S₂=S_△MPQ，試判斷S₁與S₂的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組，從而可解得a、b、c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）點A、B的縱坐標相等，因此拋物線的對稱軸為x=-3，連接AC，交x=-3與點E，先求得AC的解析式，然后求得點E的坐標，由點M在△ACD的內部，從而可知點M在線段ED上，然后求得經過點A、B、D和點A、B、E的解析式，從而可求得a的范圍；
（3）先根據題意畫出圖形，當點Q與點B重合時，可證明△ADP≌△PBM，由于點Q與點B不重合，故此△ADP的面積＞△PBM的面積，從而可知判斷出S₁與S₂的大小關系．

解答 解：（1）將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=9}\\{c=9}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=9．
將a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=9代入得y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$-2x+9．
（2）如圖1所示：連接AC交直線x=-3與點E．

∵點A、B的縱坐標相等，
∴點M在直線x=-3上．
設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A、C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=9}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
將k=-1，b=3代入得：y=-x+3．
∵將x=-3代入得；y=-（-3）+3=6．
∴點E的坐標為（-3，6）．
設經過點A、B、E三點的拋物線的解析式為y=a（x+3）²+6，將x=0，y=9代入得：9a+6=9．
解得：a=$\frac{1}{3}$．
設經過點A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+3）²，將x=0，y=9代入得：9a=9．
解得：a=1．
∴$\frac{1}{3}$≤a≤1．
（3）如圖2所示：當點Q與點B重合時．

∵DM為拋物線的對稱軸，
∴DM是AB的垂直平分線．
∴AP=PB．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠PBM．
在△APD和△BPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PBM}\\{AP=BP}\\{∠APD=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPM．
∴S_△APD=S_△PMB．
∵點Q在AB上且與點B不重合，
∴PQ＜PB．
∴S_△APD＞S_△PMB．
∴S_△ADP+S_△CBQ＞S_△MPQ．
∴S₁＞S₂．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用、解答本題主要應用了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式、平行四邊形的性質、全等三角形的性質和判定，求得經過A、B、E三點的拋物線的解析式和經過點A、B、D三點的拋物線的解析式，從而確定出a的取值范圍是解題的關鍵．