Question

在平面直角坐標系xOy中，關于y軸對稱的拋物線 與x軸交于A、B 兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P是這條拋物線上的一點（點P不在坐標軸上），且點P關于直線BC的對稱點在x軸上，D（0，3）是y軸上的一點．

（1）求拋物線的解析式及點P的坐標；

（2）若E、F是 y 軸負半軸上的兩個動點（點E 在點F的上面），且EF＝2，當四邊形PBEF的周長最小時，求點E、F的坐標；

（3）若Q是線段AC上一點,且，M是直線DQ上的一個動點，在x軸上方的平面內存在一點N，使得以 O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出點N的坐標．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線關于y軸對稱,

∴m－2=0．

∴m=2．

∴拋物線的解析式是.

令y＝0，得.

∴，．

在Rt△中，OC＝1, OB＝,可得∠OBC＝30º.

在Rt△中，OD＝3, OB＝,可得∠OBD＝60º.

∴BC是∠OBD的角平分線.

∴直線BD與x軸關于直線BC對稱.

因為點P關于直線BC的對稱點在x軸上，

則符合條件的點P就是直線BD與拋物線 的交點.

設直線BD的解析式為.

∴  ∴

∴直線BD的解析式為.

∵點P在直線BD上，設P點坐標為.

又因為點P 在拋物線上，

∴.

解得.

∴.

∴點P的坐標是.

（2）過點P作PG⊥ 軸于G，在PG上截取，連結AH與軸交于點，在軸的負半軸上截取.

∵ PH∥EF，，

∴ 四邊形為平行四邊形，有.

又 ∵ 、的長為定值，

∴ 此時得到的點、使四邊形的周長最小.

∵ OE∥GH，

∴ Rt△∽Rt△.

∴ .

∴ .

∴ .

∴ 點的坐標為（0，），點的坐標為（0，）.

（3）點N的坐標是或或.