Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；點E是對角線BD上一動點，連接CE，作EF⊥CE交AB邊于點F，以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG，作其對角線相交于點H．

（1）如圖2，當點F與點B重合時，求CE和CG的長；

（2）如圖3，當點E是BD中點時，求CE和CG的長；

（3）在圖1，連接BG，當矩形CEFG隨著點E的運動而變化時，猜想△EBG的形狀？并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）CE＝，CG＝，（2）CE＝5，CG＝；（3）結論：△EBG是直角三角形．理由見解析.

【解析】

（1）利用面積法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；
（2）利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF即可；
（3）根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷．

解：（1）如圖2中，

在Rt△BAD中，BD＝＝10，

∵S△BCD＝ CDBC＝BDCE，

∴CE＝．CG＝BE＝＝，

（2）如圖3中，過點E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．

∵DE＝BE，

∴CE＝BD＝5，

∵△CME∽△ENF，

∴，

∴CG＝EF＝．

（3）結論：△EBG是直角三角形．

理由：如圖1中，連接BH．

在Rt△BCF中，∵FH＝CH，

∴BH＝FH＝CH，

∵四邊形EFGC是矩形，

∴EH＝HG＝HF＝HC，

∴BH＝EH＝HG，

∴△EBG是直角三角形．